高等机器人控制（六）：刚体的扭转(二)

什么是扭转旋量、空间速度Twist扭转​ 是一个六维向量它完整地描述了一个刚体在空间中的瞬时运动状态。它被定义为V_r (ω, v_r)其中ω​ 是刚体的角速度向量。它描述了刚体旋转的快慢和方向。v_r​ 是刚体上某一特定参考点r的线速度向量关键解读与要点分析如何理解扭转PPT中给出了最直观的解释一个具有扭转V_r (ω, v_r)的刚体可以理解为正在以线速度v_r进行平移同时以角速度ω绕着一根通过参考点r的轴进行旋转。这两种运动的叠加就是刚体最一般的运动形式。扭转Twist是描述整个刚体运动状态的物理量它属于整个刚体而不是刚体上某一个特定的点为什么会产生“针对某一点”的误解混淆通常来源于扭转的定义Twist (ω, v)。ω角速度 这显然是整个刚体的属性。刚体上所有点都共享同一个角速度 ω。v线速度这就是误解的根源​ 这个v确实是某个特定点的线速度。但关键在于这个点是我们为了描述方便而任意选取的一个“参考点”。在定义刚体旋量时线速度 v和角速度 ω的参考坐标系必须统一。​ 旋量 V(ω,v)是一个整体描述其所有分量必须基于同一坐标系表达刚体旋量V (ω, v)中的线速度v特指“在描述该旋量时所选定的那个参考点”的线速度。计算v的通用黄金法则是v 所选参考点由于刚体运动而产生的线速度v是谁的速度​ -是那个被选中的参考点的速度。这个速度是相对于谁的​ -是相对于我们描述问题时默认的固定参考系通常是世界坐标系的结论是扭转必须包含一个参考点来定义其线速度分量但扭转所描述的运动状态是属于整个刚体的。通过图片中的陀螺例子来理解陀螺的整体运动 陀螺在绕其对称轴旋转有角速度 ω同时其底部支点O可能在地面上滑动有速度 v_o。这是一个确定的运动状态。选择参考点 为了描述这个运动我们需要选择一个点来表达线速度。如果我们选择支点O为参考点 那么它的线速度v_o可能是非零的如果滑动。此时扭转是(ω, v_o)。如果我们选择陀螺的质心C为参考点 那么它的线速度v_c会与v_o不同。此时扭转是(ω, v_c)。关键 虽然(ω, v_o)和(ω, v_c)是两个不同的六维向量但它们描述的是同一个物理运动它们之间可以通过严格的数学规则进行转换公式为v_c v_o ω × oc其中oc是从O指向C的向量这就证明了扭转的数值表示依赖于参考点的选择但它所代表的刚体运动本身是唯一的、独立的总结与类比概念描述对象是否依赖参考点类比刚体的运动​整个刚体​否客观存在车轮在滚动客观事实扭转 (Twist)​整个刚体的运动状态是其坐标表示依赖参考点用不同的描述方式来说这个事实“车轮质心速度是v_c” 或 “车轮接地点速度是v_o”。描述不同事实相同。扭转是针对整个刚体而言的。​ 它是一个六维向量完整地描述了刚体的瞬时运动包括移动和转动。虽然我们在书写它时需要指定一个参考点来确定其线速度分量但这只是为了数学描述的方便这个物理量本身刻画的是刚体的整体运动特性如何计算刚体上任意点的速度这是扭转最直接的应用。一旦知道了刚体的扭转V_r (ω, v_r)那么刚体上任意一点p​ 的线速度都可以通过一个公式计算出来v_p v_r ω × r_p这里r_p是从参考点r指向点p的向量。这个公式在PPT中被标注为“与坐标无关”意味着它是一个纯粹的几何关系不依赖于坐标系的选择参考点r是任意选择的这是扭转的一个强大之处。参考点r可以是刚体上的任意一点甚至可以是不在刚体上的空间点。选择不同的参考点r得到的线速度v_r会不同但整个扭转所描述的刚体运动状态是唯一的。不同的扭转之间可以通过严格的数学规则进行转换旋量是“物理量”幻灯片强调旋量是一个物理量就像线速度或角速度一样。与坐标系无关一个刚体的运动旋量是客观存在的不依赖于我们选择哪个坐标系来描述它。可在不同坐标系间转换我们可以将旋量表示在任何坐标系中也可以为它选择不同的参考点。尽管坐标值会改变但它描述的物理运动本身是不变的。扭转在参考系中的坐标表示引入参考系 为了进行数值计算我们需要将扭转 V在一个具体的坐标系例如{A}中表示出来。约定 PPT给出了一个常规做法选择坐标系{A}的原点作为表示刚体速度的参考点。这意味着我们不再讨论抽象的 ν而是讨论坐标系{A}的原点O_A的线速度。坐标表示 因此扭转在坐标系{A}下的坐标表示是一个6维列向量默认约定默认情况下当我们写 A V时就意味着我们使用的是坐标系原点的线速度即如何计算刚体上任意一点的速度这是扭转最直接和重要的应用。一旦知道了刚体在{A}系中的扭转那么刚体上任意一点 P​ 在{A}系中的线速度 AvP​可以通过一个简单的公式求出其中 Ap是点 P 在{A}系中的位置坐标。这个公式完美地体现了“平移速度 旋转产生的速度”的叠加原理。详细见上一篇文章扭转的强大之处参考点的任意性虽然PPT约定使用坐标系原点但参考点可以是任意一点。假设我们选择刚体上另一个点r作为参考点其线速度为 ν_r​那么对应的扭转是 V_r​(ω,ν_r​)扭转变换 不同参考点对应的扭转之间可以通过一个固定的规则进行转换。已知 V_O​(ω,ν_O​)和点r相对于原点O的位置矢量 p_r​那么点r的扭转坐标为物理等价性 尽管坐标表示不同ν_O不等于ν_r​但它们描述的是同一个刚体运动。计算刚体上任意点的速度用 V_O​或转换后的 V_r​会得到相同的结果。复习要讨论刚体的Velocity 首先要定义刚体的速度 ---什么是刚体的速度 因为刚体上有很多点 刚体上大多数的点速度都不同要定义刚体的速度到底是定义哪个点的速度刚体上点的速度不是独立的 是相关的 而这些点的速度可以用几个参数 parameter common to all points on the body 来表示出来在机器人学中的应用在机器人学中的应用“举个手臂”的深层含义幻灯片中出现的“举个手臂”弹幕恰恰点出了旋量理论在机器人学中的核心应用。串联机械臂机器人的每个连杆都是一个刚体。要描述末端执行器如手爪的运动就是要求解该刚体的旋量。雅可比矩阵旋量理论引出了机器人学中至关重要的雅可比矩阵Jacobian Matrix。雅可比矩阵建立了关节速度空间与操作空间末端执行器旋量之间的线性映射旋量_末端 J(θ) · 关节角速度通过这个公式我们可以根据期望的末端运动速度反算出需要控制的每个关节的速度这是机器人运动规划和控制的基石。核心思想从关节空间到任务空间控制一个机械臂我们的目标通常是让它的末端执行器手爪、焊枪等完成特定的任务比如以一定速度移动到某个位置。这发生在三维空间任务空间。但机器人是通过驱动各个关节电机来实现的这发生在关节空间。旋量是连接这两个空间的桥梁第一部分为什么机械臂末端运动是一个“旋量”连杆是刚体 如PPT所述一个刚体的运动可以用一个旋量(ω, v_r)完整描述。机械臂的每一个连杆都可以被视为一个刚体。末端执行器的运动 我们最关心的是最后一个连杆即末端执行器的运动。这个运动是一个刚体运动因此完全可以、且最适合用一个旋量来描述ω_end 末端执行器转动的角速度。v_end 末端执行器上某一点通常选为其工具中心点的线速度。所以当我们说“让机械臂末端以速度v直线运动同时以角速度ω旋转”时我们实质上就是在指定一个旋量V_end [v, ω]^T。第二部分雅可比矩阵——核心的桥梁现在的问题是如何通过控制各个关节的电机的速度来实现末端执行器期望的旋量这个问题的答案就是雅可比矩阵J(θ)。雅可比矩阵是什么它是一个矩阵建立了关节速度​ 和末端执行器旋量​ 之间的线性映射关系。它的元素是机器人末端执行器速度关于关节角度的偏导数。它不是一个常数矩阵而是随机器人当前构型即各个关节的角度θ变化而变化的所以写作J(θ)。核心数学公式V_end J(θ) * θ̇V_end 一个6x1的向量代表末端执行器的旋量​[v_x, v_y, v_z, ω_x, ω_y, ω_z]^T。J(θ) 机器人在当前姿态θ下的雅可比矩阵6xN阶N为关节数。θ̇ 一个Nx1的向量代表各个关节的角速度[θ̇₁, θ̇₂, ..., θ̇_N]^T。这个公式就是PPT中“对于任何刚体上的点p有v_p v_r ω × rp” 这一原理在串联机构上的推广和应用。雅可比矩阵J(θ)的本质就是系统性地、自动化地计算每个关节的运动对末端旋量的贡献。第三部分正运动学与逆运动学问题基于旋量和雅可比矩阵我们可以解决机器人学的两个基本问题1. 正运动学问题预测问题问题 已知每个关节的速度θ̇求末端执行器的速度旋量V_end解法直接代入公式V_end J(θ) * θ̇。应用 仿真、监控机器人运动。2. 逆运动学问题控制问题问题 希望末端执行器达到一个期望的速度V_desired那么各个关节应该以多快的速度θ̇运动解法求雅可比矩阵的逆或伪逆θ̇ J(θ)⁻¹ * V_desired。应用这是机器人实时控制的核心​ 控制器每秒成千上万次地执行这个计算根据期望的末端运动解算出并发送指令给每个关节的电机。旋量的转换旋量选取不同的参考点表示出的数值不同 但可进行相互转化 因为旋量是刚体的整体属性对于frame {A}和frame {B} 有两个不同的旋量