第一章：函数与极限

一、映射、是两个非空集合存在法则对集合中每个元素按照法则在集合中都有唯一的元素与之对应那么就是从到的映射记作。其中里的元素叫做原像里的元素叫做像即原像像。像组成的集合叫做定义域D是Domain的简写原像组成的集合叫做值域R是Range的简写其中映射是集合到集合之间的对应关系你这个集合里面的元素是什么玩意儿都可以。注意1映射组成的三要素定义域、对应法则、值域其中表示“属于”。其中中的元素必须都能找到对应的而中的元素不一定都能用上。如下图所示和它的值域是都用上的但是中有一部分元素没用上。所以即是的子集2集合中的所对应的元素是唯一的。即一个不能对应多个但是多个可以对应同一个。如下图所示3包含于但不一定等于就是说有可能只是集合的一部分1、满射如果中所有的元素都用上了即就叫满射。2、单射前面讲到过多个对应一个y是允许的而单射必须是不能对应多个只能一个对一个这就叫单射。即若则3、一一映射既是单射也是满射就叫一一映射。即和中所含的元素个数一样且一一对应4、逆映射假设是到的一个单射对于每一个都有唯一的与之对应满足记作注意这里只要求单射没要求满射所以不能写成因为中可能有些元素没用上只有单射才有逆映射。5、复合映射假设有两个映射分别是和且则有记作其中如下图所示注意复合函数中复合的先后顺序不同结果是不同的。二、函数假设其中D是定义域这里R是实数集存在映射。其中是自变量是因变量是定义域也可以写成是值域记作注意1函数是从数集到数集之间的映射之前讲的映射是集合到集合之间的对应这个集合元素可以是数也可以是别的任何东西2上面实数集和定义域的这两个是不一样的。3表示的是对应的规则如果写成那就表示对应的函数值了。构成函数的两要素定义域、对应规则问为什么映射是三要素而函数却只有两要素答由于函数的值域一定会落在实数集里面所以就不用说了。函数的三种表示方法表格、图形、解析式公式1、函数的几种特性1有界性上界设存在使所有的则是在上的一个上界。也就是说如果有别的数大于则那个数也是在上的一个上界。所以上界不唯一。下界设存在使所有的则是在上的一个下界。同理下界也不唯一。有界设存在正数M使所有的即则是有界函数是的一个界。有界的充分必要条件是既有上界也有下界即有界既有上界也有下界。无界就是找不到一个正数M使则就是无界函数。2单调性单调递增若则单调递减若则3奇偶性前提定义域D关于原点对称若则函数为偶函数函数图像关于y轴对称若则函数为奇函数函数图像关于原点对称。4周期性设存在正数使则函数为周期函数就叫它的周期。注意通常我们说的周期都是最小周期。注意并非每个周期函数都有最小周期。比如函数为有理数为无理数中任何正有理数都是它的周期下面有证明而且不存在最小的正有理数。证明当为有理数时则加上任何正有理数结果都为有理数所以有而当为无理数时则加上任何正无理数结果都为无理数所以有所以任何正有理数都是函数的周期而又不存在最小的正有理数所以函数不存在最小周期。补充知识10是有理数20即不是正有理数也不是负有理数30即不是正数也不是负数40是偶数。2、反函数也叫逆函数